Question

9．已知函數(shù)f（x）=lnx+ax+$\frac{1+a}{x}$（a＞-$\frac{1}{2}$），（其中e=2.718…）．
（1）討論f（x）的單調(diào)性及極值點個數(shù)；
（2）若f（x）在[1，e}]的最小值為f（1），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的定義域，然后求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分a=0，a＞0，$-\frac{1}{2}＜a＜0$分析導(dǎo)函數(shù)的符號，由導(dǎo)函數(shù)的符號判斷出原函數(shù)的單調(diào)性，并得到極值點的個數(shù)；
（2）由（1）中函數(shù)的單調(diào)性得到當(dāng)a≥0時，函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，可知f（x）在[1，e}]的最小值為f（1）．
當(dāng)$-\frac{1}{2}＜a＜0$時，函數(shù)的增區(qū)間為$（1，-1-\frac{1}{a}）$，把f（x）在[1，e]上的最小值為f（1）轉(zhuǎn)化為$-1-\frac{1}{a}≥e$或$\left\{\begin{array}{l}{-1-\frac{1}{a}＜e}\\{f（1）＜f（e）}\end{array}\right.$，求解不等式及不等式組可得a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
由f（x）=lnx+ax+$\frac{1+a}{x}$，得${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}+a-\frac{1+a}{{x}^{2}}$，
當(dāng)a=0時，${f}^{′}（x）=\frac{x-1}{{x}^{2}}$，
則當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)的減區(qū)間為x（0，1），增區(qū)間為（1，+∞），函數(shù)有一個極小值點；
當(dāng)a≠0時，f′（x）=$\frac{a（x-1）（x+\frac{a+1}{a}）}{{x}^{2}}$，
若a＞0，
則當(dāng)x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)的減區(qū)間為x（0，1），增區(qū)間為（1，+∞），函數(shù)有一個極小值點；
若$-\frac{1}{2}＜a＜0$，
則當(dāng)x∈（0，1），$（-1-\frac{1}{a}，+∞）$時，f′（x）＜0，當(dāng)x∈$（1，-1-\frac{1}{a}）$時，f′（x）＞0，
∴函數(shù)的減區(qū)間為（0，1），$（-1-\frac{1}{a}，+∞）$，增區(qū)間為$（1，-1-\frac{1}{a}）$，
∴函數(shù)有一個極小值點x=1，一個極大值點x=$-1-\frac{1}{a}$；
（2）由（1）知，當(dāng)a≥0時，函數(shù)f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）在[1，e}]的最小值為f（1）．
當(dāng)$-\frac{1}{2}＜a＜0$時，函數(shù)的增區(qū)間為$（1，-1-\frac{1}{a}）$，
要使f（x）在[1，e]上的最小值為f（1），則$-1-\frac{1}{a}≥e$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1-\frac{1}{a}＜e}\\{f（1）＜f（e）}\end{array}\right.$②，
解①得：$-\frac{1}{e+1}≤a＜0$．
由②得：$\left\{\begin{array}{l}{-1-\frac{1}{a}＜e}\\{2a+1＜ae+\frac{1+a}{e}}\end{array}\right.$，解得：$\frac{1}{e-1}＜a＜-\frac{1}{e+1}$，
∵a$＞-\frac{1}{2}$，∴$-\frac{1}{2}＜a＜-\frac{1}{e+1}$．
綜上，若f（x）在[1，e]的最小值為f（1），則實數(shù)a的取值范圍是（-$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究過曲線上某點的切線方程，考查了導(dǎo)數(shù)在最大值和最小值中的實際應(yīng)用，考查了運算求解能力，推理論證能力，考查函數(shù)與方程的思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想，綜合性強(qiáng)，是高考的重點．