Question

9．設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镮，若對(duì)任意的x₁，x₂∈I．都有|f（x₁）-f（x₂）|＜1，則成函數(shù)f（x）為“Storm函數(shù)”，現(xiàn)給出下列函數(shù)：
①f（x）=|x|，x∈[-$\frac{1}{2}$，1]；②f（x）=2^2x，x∈（0，1）；③f（x）=lnx，x∈[2，4]，則其中“Storm函數(shù)”的是③（填寫符合要求的函數(shù)式所對(duì)應(yīng)的序號(hào)）．

Answer 1

分析 由條件利用對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，逐一判斷各個(gè)選項(xiàng)是否滿足條件，從而得出結(jié)論．

解答 解：對(duì)于f（x）=|x|，x∈[-$\frac{1}{2}$，1]，對(duì)任意的x₁，x₂∈[-$\frac{1}{2}$，1]，|f（x₁）-f（x₂）|=||x₁|-|x₂||≤1-0=1，
不能保證|f（x₁）-f（x₂）|＜1，故①不滿足條件．
對(duì)于f（x）=2^2x，x∈（0，1），對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，1），|f（x₁）-f（x₂）|=|${4}^{{x}_{1}}$-${4}^{{x}_{2}}$|＜|4-4⁰|=3，
不能保證|f（x₁）-f（x₂）|＜1，故②不滿足條件．
f（x）=lnx，x∈[2，4]，對(duì)任意的x₁，x₂∈[2，4]，|f（x₁）-f（x₂）|=|lnx₁ -lnx₂ |=|ln$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$|≤ln2＜1，
故滿足|f（x₁）-f（x₂）|＜1，故③滿足條件．
故答案為：③．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和特殊點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．