Question

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且過點(diǎn)P(，)，離心率是.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線l過點(diǎn)E(－1，0)且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|EA|＝2|EB|，求直線l的方程．

Answer 1

(1)設(shè)橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a＞b＞0)．

由已知可得解得a2＝4，b2＝1.

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1.

(2)由已知，若直線l的斜率不存在，則過點(diǎn)E(－1，0)的直線l的方程為x＝－1，此時(shí)令A(yù)(－1，)，B(－1，－)，顯然|EA|＝2|EB|不成立．

若直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋1)．

由整理得(4k2＋1)x2＋8k2x＋4k2－4＝0.

則Δ＝(8k2)2－4(4k2＋1)(4k2－4)＝48k2＋16＞0.

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．

故x1＋x2＝－，①   x1x2＝.②

因?yàn)閨EA|＝2|EB|，即x1＋2x2＝－3.③

①②③聯(lián)立解得k＝±.

所以直線l的方程為x＋6y＋＝0和x－6y＋＝0.