Question

9．求函數(shù)f（x）=4^x+4^-x-2^x+2^-x-4，x∈[0，1）的值域．

Answer 1

分析 把原函數(shù)式變形，然后令t=${2}^{x}-{2}^{-x}={2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$換元，由x的范圍利用單調(diào)性求出t的范圍，再由配方法求得函數(shù)的值域．

解答 解：f（x）=4^x+4^-x-2^x+2^-x-4=（2^x-2^-x）²-（2^x-2^-x）-2，
令t=${2}^{x}-{2}^{-x}={2}^{x}-\frac{1}{{2}^{x}}$，
∵x∈[0，1），∴t∈[0，$\frac{3}{2}$），
原函數(shù)化為g（t）=t²-t-2=$（t-\frac{1}{2}）^{2}-\frac{9}{4}$，
當t=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)有最小值為$-\frac{9}{4}$；
當t=$\frac{3}{2}$時，g（t）=$-\frac{5}{4}$．
∴函數(shù)f（x）=4^x+4^-x-2^x+2^-x-4，x∈[0，1）的值域為[$-\frac{9}{4}，-\frac{5}{4}$）．

點評 本題考查函數(shù)值域的求法，考查了換元法和配方法求函數(shù)的值域，是基礎(chǔ)題．