Question

5．設函數(shù)f（x）的定義域為D，如果?x∈D存在唯一的y∈D，使$\frac{f（x）+f（y）}{2}$=C（C為常數(shù)）成立，則稱函數(shù)f（x）在D上的“均值”為C，已知四個函數(shù)：
①f（x）=x³（x∈R）；
②f（x）=（$\frac{1}{2}$）^x（x∈R）；
③f（x）=lnx（x∈（0，+∞））
④f（x）=2sinx（x∈R）
上述四個函數(shù)中，滿足所在定義域上“均值”為1的函數(shù)是①③．（填入所有滿足條件函數(shù)的序號）

Answer 1

分析 利用“均值”的概念，分別對四個函數(shù)進行分析，能求出滿足所在定義域上“均值”為1的函數(shù)．

解答 解：①對于函數(shù)y=x³，定義域為R，設x∈R，
由$\frac{{x}^{3}+{y}^{3}}{2}$=1，得y³=2-x³，所以y=$\root{3}{2-{x}^{3}}$∈R，
所以函數(shù)y=x³是定義域上均值為1的函數(shù)；
②對于y=（$\frac{1}{2}$）x，定義域為R，設x∈R，
由$\frac{（\frac{1}{2}）^{x}+（\frac{1}{2}）^{y}}{2}$=1，得（$\frac{1}{2}$）y=2-（$\frac{1}{2}$）x，
當x=-2時，2-（$\frac{1}{2}$）-2=-2，不存在實數(shù)y的值，使（$\frac{1}{2}$）y=-2，
所以該函數(shù)不是定義域上均值為1的函數(shù)；
③對于函數(shù)y=lnx，定義域是（0，+∞），
設x∈（0，+∞），由$\frac{lnx+lny}{2}$=1，得lny=2-lnx，則y=e^2-lnx∈R，
所以該函數(shù)是定義域上均值為1的函數(shù)；
④對于函數(shù)y=2sinx（x∈R），定義域是R，
設x∈R，由$\frac{2sinx+2siny}{2}$=1，得siny=1-sinx，
因為-sinx∈[-1，1]，所以sinx=-1時，不存在實數(shù)y，使得siny=1-sinx，
所以函數(shù)y=2sinx不是定義域上均值為1的函數(shù)．
所以滿足所在定義域上“均值”為1的函數(shù)是①③．
故答案為：①③．

點評 本題考查滿足所在定義域上“均值”為1的函數(shù)的判斷，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質的合理運用．