Question

已知函數(shù)f（x）=xln x．
（1）求f（x）的極小值；
（2）討論關(guān)于x的方程f（x）-m=0 （m∈R）的解的個數(shù)．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,根的存在性及根的個數(shù)判斷

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)為0，判斷極值點，即可求f（x）的極小值；
（2）利用（1）的結(jié)果，討論函數(shù)的單調(diào)性，然后解答關(guān)于x的方程f（x）-m=0 （m∈R）的解的個數(shù)．

解答： 解　（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=ln x+1，…（2分）
令f′（x）=0，得x=

1

e

，
當(dāng)x∈（0，+∞）時，f′（x），f（x）的變化的情況如下：

x	(0， 1 e )	1 e	( 1 e ，+∞)
f′（x）	-	0	+
f（x）	↘	極小值	↗

…（6分）
所以，f（x）在（0，+∞）上的極小值是f（

1

e

）=-

1

e

．…（7分）
（2）當(dāng)x∈(0，

1

e

)，f（x）單調(diào)遞減且f（x）的取值范圍是(-

1

e

，0)；
當(dāng)x∈(

1

e

，+∞)時，f（x）單調(diào)遞增且f（x）的取值范圍是(-

1

e

，+∞)．…（10分）
令y=f（x），y=m，兩函數(shù)圖象交點的橫坐標是f（x）-m=0的解，由（1）知當(dāng)m＜-

1

e

時，原方程無解；
由f（x）的單調(diào)區(qū)間上函數(shù)值的范圍知，
當(dāng)m=-

1

e

或m≥0時，原方程有唯一解；
當(dāng)-

1

e

＜m＜0時，原方程有兩解．…（13分）

點評：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值點以及函數(shù)的單調(diào)性，方程的根的個數(shù)的應(yīng)用，考查計算能力．