Question

10．已知向量$\overrightarrow a$=（1，2）、$\overrightarrow b$=（-1，3）、$\overrightarrow c$=λ$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$
（1）求向量$\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角θ；
（2）求|$\overrightarrow c$|的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)向量夾角余弦的坐標(biāo)公式能夠求出cos$θ=\frac{\sqrt{2}}{2}$，由θ的范圍便可得到$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角θ；
（2）先由$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}}$表示出$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{5（λ+1）^{2}+5}$，從而λ=-1時(shí)$|\overrightarrow{c}|$取到最小值．

解答 解：（1）∵$|\overrightarrow a|=\sqrt{5}，|\overrightarrow b|=\sqrt{10}，\overrightarrow a•\overrightarrow b=5$；
∴$cosθ=\frac{\overrightarrow a•\overrightarrow b}{|\overrightarrow a||\overrightarrow b|}=\frac{5}{{\sqrt{5}•\sqrt{10}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$；
∵0≤θ≤π，∴θ=$\frac{π}{4}$；
（2）∵$|\overrightarrow c|=\sqrt{{{（λ\overrightarrow a+\overrightarrow b）}^2}}=\sqrt{5{{（λ+1）}^2}+5}$；
∴當(dāng)λ=-1時(shí)，$|\overrightarrow{c}|$取到最小值$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 考查根據(jù)坐標(biāo)求向量長(zhǎng)度，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量夾角余弦的坐標(biāo)公式，以及求向量長(zhǎng)度的方法$|\overrightarrow{c}|=\sqrt{{\overrightarrow{c}}^{2}}$，向量數(shù)量積的運(yùn)算，配方求二次函數(shù)最值的方法．