Question

8．若（a+x）（1+x）⁴的展開式中，x的奇數(shù)次冪的系數(shù)和為32，則展開式中x³的系數(shù)為18．

Answer 1

分析 設(shè)f（x）=（a+x）（1+x）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，分別令x=1、x=-1，求得a的值，再利用排列組合的知識求得x³的系數(shù)．

解答 解：設(shè)f（x）=（a+x）（1+x）⁴=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅x⁵，
令x=1，則a₀+a₁+a₂+…+a₅=f（1）=16（a+1）…①，
令x=-1，則a₀-a₁+a₂-…-a₅=f（-1）=0…②，
①-②得，2（a₁+a₃+a₅）=16（a+1），
所以2×32=16（a+1），所以a=3．
當(dāng)（3+x）中取3，則 （1+x）⁴取x，x，x，1，即可得x³的系數(shù)為$3C_4^3=12$，
當(dāng)（3+x）中取x，則 （1+x）⁴取x，x，1，1，即x³的系數(shù)為$C_4^2=6$，
∴展開式中x³的系數(shù)為18．
故答案為：18．

點評 本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，二項展開式的通項公式，求展開式中某項的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．