Question

6．若方程$\sqrt{4x-{x^2}}=\frac{3}{4}x+m$有實數解，則m的取值范圍是[-3，1]．

Answer 1

分析 根據函數與方程之間的關系轉化兩個函數有交點問題，利用數形結合進行求解即可．

解答 解：設y=$\sqrt{4x-{x}^{2}}$，則等價為（x-2）²+y²=4，（y≥0）對應的根據為圓的上半部分，
設y=$\frac{3}{4}$x+m，即3x-4y+4m=0
作出對應的圖象如圖：
當直線經過點（4，0）時，滿足條件，
此時$\frac{3}{4}$×4+m=0，得m=-3，
當直線和圓相切時（m＞0），
圓心到直線的距離d=$\frac{|6+4m|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}=2$，
即$\frac{|3+2m|}{5}=1$，則|2m+3|=5
得m=1或m=-4（舍），
故要使方程$\sqrt{4x-{x^2}}=\frac{3}{4}x+m$有實數解，
則-3≤m≤1，
故答案為：[-3，1]

點評 本題主要考查函數與方程的應用，根據條件轉化為直線和圓的位置關系是解決本題的關鍵．注意利用數形結合進行判斷．