Question

13．一學(xué)校體育老師，5個(gè)擅長(zhǎng)籃球，2個(gè)擅長(zhǎng)足球，隨機(jī)選2人，設(shè)x為即擅長(zhǎng)籃球又擅長(zhǎng)足球的人數(shù)，已知P₁ （x＞0）=$\frac{7}{10}$，
①求有多少體育老師．
②x分布列，數(shù)學(xué)期望與方差．

Answer 1

分析 ①設(shè)既擅長(zhǎng)籃球也擅長(zhǎng)足球共有x人，則該校的體育教師有（7-x）人，那么只擅長(zhǎng)一項(xiàng)的人數(shù)為（7-2x）人，利用P（X＞0）=$\frac{7}{10}$，建立方程，即可求得該校的體育教師的人數(shù)；
②X的可能取值為0，1，2，計(jì)算概率，即可求得數(shù)學(xué)期望與方差．

解答 解：①設(shè)既擅長(zhǎng)籃球也擅長(zhǎng)足球共有x人，則該校的體育教師有（7-x）人，那么只擅長(zhǎng)一項(xiàng)的人數(shù)為（7-2x）人…（2分）
∵P（X＞0）=P（X≥1）=1-P（X=0）=$\frac{7}{10}$，
∴1-$\frac{{C}_{7-2x}^{2}}{{C}_{7-x}^{2}}$=$\frac{7}{10}$，…（4分）
整理為：37x²-221x+294=0，∴x=2，
∴7-2=5，即藝術(shù)社團(tuán)有5人…（6分）
②X的可能取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{3}{10}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{3}^{1}}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$；P（X=2）=$\frac{1}{{C}_{5}^{2}}$=$\frac{1}{10}$…（10分）
∴E（X）=0×$\frac{3}{10}$+1×$\frac{3}{5}$+2×$\frac{1}{10}$=$\frac{4}{5}$…（12分）
D（X）=（0-$\frac{4}{5}$）²×$\frac{3}{10}$+（1-$\frac{4}{5}$）²×$\frac{3}{5}$+（2-$\frac{4}{5}$）²×$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{25}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的概率與期望，解題的關(guān)鍵是正確求出概率，利用期望公式求解．