Question

10．已知函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{{e}^{x}}$（x∈R），g（x）=-4^x+a•2^x+1+a²+a-1（a∈R），若A={x|f（g（x））＞e}=R．則a的取值范圍是[-1，0]．

Answer 1

分析 當(dāng)x＞0時，利用導(dǎo)數(shù)求得f（x）≤$\frac{1}{e}$，不滿足條件．當(dāng)x=0時，f（x）=0，不滿足條件．當(dāng)x＜0時，由f′（x）＜0，得f（x）為減函數(shù)，由f（-1）=e，可得x＜-1，問題轉(zhuǎn)化為 g（x）＜-1恒成立，即-4^x+a•2^x+1+a²+a-1＜-1．再利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求得a的范圍．

解答 解：當(dāng)x＞0時，函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{{e}^{x}}$=$\frac{x}{{e}^{x}}$，令 f′（x）=$\frac{1-x}{{e}^{x}}$=0，求得x=1，當(dāng)x＞0時，
利用倒數(shù)的符號可得，函數(shù)f（x）在x=1處，取得最大值為$\frac{1}{e}$，故f（x）≤$\frac{1}{e}$，不滿足條件．
當(dāng)x=0時，f（x）=0，不滿足條件．
當(dāng)x＜0時，f′（x）＜0，故f（x）為減函數(shù)，由f（-1）=e，可得x＜-1．
問題轉(zhuǎn)化為 g（x）＜-1恒成立，即-4^x+a•2^x+1+a²+a-1＜-1，即h（x）=-4^x+a•2^x+1+a²+a=-（2^x-a）²+2a²+a＜0 恒成立．
若a＞0，則h（x）的最大值為 2a²+a＞0，故2a²+a＜0無解．
若a≤0，則h（x）＜a²+a≤0，求得-1≤a≤0，
故答案為：[-1，0]．

點評 本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，函數(shù)的恒成立問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題．