Question

14．若函數(shù)f（x）=（a-x）|x-3a|（a＞0）在區(qū)間（-∞，b]上取得最小值3-4a時(shí)所對(duì)應(yīng)的x的值恰有兩個(gè)，則實(shí)數(shù)b的值等于（　　）

• A． 2$±\sqrt{2}$
• B． 2-$\sqrt{2}$或6-3$\sqrt{2}$
• C． 6$±3\sqrt{2}$
• D． 2+$\sqrt{2}$或6+3$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求出分段函數(shù)的解析式，再根據(jù)f（b）=f（2a）=3-4a，且b＞3a時(shí)，可滿足題設(shè)條件，問題得以解決．

解答 解：當(dāng)x＜3a時(shí)，f（x）=-（a-x）（x-3a）=x²-4ax+3a²，
當(dāng)x≥3a時(shí)f（x）=（a-x）（x-3a）=-x²+4ax-3a²，
∵a＞0，則僅當(dāng)f（b）=f（2a）=3-4a，且b＞3a時(shí)，可滿足題設(shè)條件，
結(jié)合函數(shù)f（x）的圖象可知，3-4a=-a²，即a=1或a=3，
當(dāng)a=1時(shí)，-b²+4b-3=-1（b＞3），解得b=2+$\sqrt{2}$
當(dāng)a=3時(shí)，-b²+12b-27=-9（b＞9），解得b=6+3$\sqrt{2}$，
故選D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值及其幾何意義，以及分段函數(shù)圖象的問題，屬于中檔題