Question

某學科競賽的預賽考試分為一試和加試兩部分測試，且規(guī)定只有一試考試達標著才可以進入加試考試，一試考試和
加試考試都達標才算優(yōu)勝者，從而進入決賽，一試試卷包括三個獨立的必做題目，加試包括兩個獨立的必做題目，若一試考試至少答對兩個問題就認定為達標，加試需兩個題目都答對才算達標，假設甲同學一試考試中答對每個題的概率均為

2

3

，加試考試中答對每個題的概率都為

1

2

，且各題答題情況均互不影響．
（1）求甲同學成為優(yōu)勝者，順利進入決賽的概率； 
（2）設甲同學解答的題目的個數(shù)為X，求X的分布列和期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,互斥事件的概率加法公式,相互獨立事件的概率乘法公式,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）甲同學成為優(yōu)勝者，說明甲同學一試和加試均達標，由此能求出甲同學成為優(yōu)勝者，順利進入決賽的概率．
（2）X的可能取值為3，5，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答： 解：（1）甲同學成為優(yōu)勝者，說明甲同學一試和加試均達標，
則其概率為：
p₁=[（

2

3

）³+

C

2 3

(

2

3

)2×

1

3

]×

1

2

×

1

2

=

5

27

．
（2）X的可能取值為3，5，
P（X=3）=(

1

3

)3+

C

2 3

(

1

3

)2×

2

3

=

7

27

，
P（X=5）=（

2

3

）³+C

2 3

(

2

3

)2×

1

3

=

20

27

，
∴X的分布列為：

X	3	5
P	7 27	20 27

EX=3×

7

27

+5×

20

27

=

121

27

．

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．