Question

5．袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為$\frac{1}{7}$．現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球為止，每個球在每一次被取出的機會是相等的，用ξ表示終止時所需要的取球次數(shù)．
（1）求袋中原有白球的個數(shù)；
（2）求隨機變量ξ的概率分布列及期望．

Answer 1

分析 （1）設袋中原有n個白球，由題意列出方程求出n的值；
（2）由題意知ξ的可能取值為1，2，3，4，5；計算對應的概率值，列出ξ的概率分布，計算出數(shù)學期望Eξ．

解答 解：（1）設袋中原有n個白球，由題意知
$\frac{1}{7}$=$\frac{{C}_{n}^{2}}{{C}_{7}^{2}}$=$\frac{\frac{n（n-1）}{2}}{\frac{7×6}{2}}$=$\frac{n（n-1）}{7×6}$，--------3分
所以n（n-1）=6，
解得n=3或n=-2（舍去），
即袋中原有3個白球；----------6分
（2）由題意知ξ的可能取值為1，2，3，4，5．
且P（ξ=1）=$\frac{3}{7}$；
P（ξ=2）=$\frac{4×3}{7×6}$=$\frac{2}{7}$；
P（ξ=3）=$\frac{4×3×3}{7×6×5}$=$\frac{6}{35}$；
 P（ξ=4）=$\frac{4×3×2×3}{7×6×5×4}$=$\frac{3}{35}$；
P（ξ=5）=$\frac{4×3×2×1×3}{7×6×5×4×3}$=$\frac{1}{35}$．
所以取球次數(shù)ξ的概率分布如下表所示：

ξ	1	2	3	4	5
P	$\frac{3}{7}$	$\frac{2}{7}$	$\frac{6}{35}$	$\frac{3}{35}$	$\frac{1}{35}$

∴Eξ=1×$\frac{3}{7}$+2×$\frac{2}{7}$+3×$\frac{6}{35}$+4×$\frac{3}{35}$+5×$\frac{1}{35}$=2．------12分（第2問每個答案一分）

點評 本題考查離散型隨機變量的概率及概率分布與數(shù)學期望的計算問題，是綜合性題目．