Question

如圖，已知PA⊥邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD所在的平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)。

（1）證明：平面DNB⊥平面ABCD；
（2）證明：MN⊥CD；
（3）若直線PB與平面ABCD所成的角為45°，求證：MN⊥平面PCD。

Answer 1

解：（1）如圖，連接AC交BD于O，連接NO， ∵N，O分別為PC，AC的中點(diǎn)， ∴NO∥PA ∵PA⊥平面ABCD， ∴NO⊥平面ABCD，又NO平面DNB， ∴平面DNB⊥平面ABCD。 （2）如圖，連接MO，由（1）知NO⊥平面ABCD ∴NO⊥AB， 又易證MO⊥AB，NO∩MO=O， ∴AB⊥平面OMN ∴MN⊥AB，而CD∥AB ∴MN⊥CD。
（3）∵直線P與平面ABCD所成的角為45°，且PA⊥平面ABCD ∴∠PBA= 45°，△PAB為等腰直角三角形， ∴PA=AB=AD=2 連接PM，CM，易證△PAM≌△CBM，得PM=CM， ∵N為PC中點(diǎn)， ∴MN⊥PC 又MN⊥CD，PC∩CD=C ∴MN⊥平面PCD。