Question

19．（1）求 $\frac{sin27°+cos45°sin18°}{cos27°-sin45°sin18°}$的值．
（2）已知α，β∈（0，π），且tan（β-α）=$\frac{1}{2}$，tanα=-$\frac{1}{7}$，求2β-α的值．

Answer 1

分析 （1）由條件利用兩角和差的正弦公式花簡求得所給式子的值．
（2）由條件求得 2β-α的范圍，再求得tan（2β-α）=tan[（β-α）+β]的值，可得2β-α的值．

解答 解：（1）$\frac{sin27°+cos45°sin18°}{cos27°-sin45°sin18°}$=$\frac{sin（45°-18°）+cos45°sin18°}{cos（45°-18°）-sin45°sin18°}$=$\frac{sin45°cos18°}{cos45°cos18°}$=tan45°=1．
 （2）∵α，β∈（0，π），tan（β-α）=$\frac{1}{2}$，tanα=-$\frac{1}{7}$，
∴tanβ=tan[（β-α）+α]=$\frac{tan（β-α）+tanα}{1-tan（β-α）tanα}$=$\frac{1}{3}$＜1，∴β∈（0，$\frac{π}{4}$），2β∈（0，$\frac{π}{2}$）．
又tanα=-$\frac{1}{7}$，故α∈（$\frac{π}{2}$，π），∴2β-α∈（-π，0）．
又tan（2β-α）=tan[（β-α）+β]=$\frac{tan（β-α）+tanβ}{1-tan（β-α）tanβ}$=$\frac{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{2}×\frac{1}{3}}$=1，
∴2β-α=-$\frac{3π}{4}$．

點評 本題主要考查兩角和差的正弦公式、兩角和差的正切公式，不等式的基本性質，根據(jù)三角函數(shù)的值求角，屬于基礎題．