Question

4．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}+a$過點（1，$\frac{3}{2}$）
（1）求a的值；
（2）求證：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）將點（1，$\frac{3}{2}$）帶入函數(shù)解析式便可得到a═$\frac{1}{2}$；
（2）先求函數(shù)f（x）的定義域，寫出函數(shù)f（x）并通分得到$f（x）=\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$，求f（-x）=-f（x），便可證出f（x）為奇函數(shù)．

解答 解：（1）點（1，$\frac{3}{2}$）的坐標帶入f（x）可得：$\frac{3}{2}=\frac{1}{2-1}+a$；
∴$a=\frac{1}{2}$；
（2）證明：2^x-1≠0，∴x≠0；
∴該函數(shù)的定義域為{x|x≠0}；
f（x）=$\frac{1}{{2}^{x}-1}+\frac{1}{2}=\frac{{2}^{x}+1}{2（{2}^{x}-1）}$；
∴$f（-x）=\frac{{2}^{-x}+1}{2（{2}^{-x}-1）}=\frac{{2}^{x}+1}{2（1-{2}^{x}）}=-f（x）$；
∴f（x）是奇函數(shù)．

點評 考查函數(shù)圖象上的點和函數(shù)解析式的關系，奇函數(shù)的定義，證明一個函數(shù)為奇函數(shù)的方法：只需求f（-x）=-f（x），指數(shù)的運算．