Question

20．直線x+2y=1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1相交于A，B兩點，AB中點為M，若直線AB斜率與OM斜率之積為-$\frac{1}{4}$，則橢圓的離心率e的值是（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{4}$

Answer 1

分析 設出A，B的坐標，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的關系結合中點坐標公式求出k_OM，再由直線AB斜率與OM斜率之積為-$\frac{1}{4}$求得答案．

解答 解：設A、B兩點的坐標分別為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，得（a²+4b²）x²-2a²x+a²-4a²b=0．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+4^{2}}$，${y}_{1}+{y}_{2}=\frac{1}{2}（1-{x}_{1}）+\frac{1}{2}（1-{x}_{2}）$=$1-\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$=$1-\frac{{a}^{2}}{{a}^{2}+4^{2}}=\frac{4^{2}}{{a}^{2}+4^{2}}$，
∴${k}_{OM}=\frac{2^{2}}{{a}^{2}}$，又${k}_{AB}=-\frac{1}{2}$，
∴$\frac{2^{2}}{{a}^{2}}•（-\frac{1}{2}）=-\frac{1}{4}$，解得：e=$\frac{1}{2}$．
故選：A．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查直線與橢圓的位置關系的應用，考查計算能力，是中檔題．