Question

20．已知函數(shù)f（x）=log_a（ax²+2x+a²）在[-4，-2]上是增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 令t（x）=ax²+2x+a²，則f（x）=log_at（x），當(dāng)a＞1時(shí)，t（x）=ax²+2x+a²的對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{1}{a}$∈（-1，0），檢驗(yàn)不滿(mǎn)足條件．當(dāng)0＜a＜1時(shí)，應(yīng)有t（x）=ax²+2x+a²的對(duì)稱(chēng)軸x=-$\frac{1}{a}$≥-2，且t（-2）＞0，由此求得a的范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=log_a（ax²+2x+a²）在[-4，-2]上是增函數(shù)，令t（x）=ax²+2x+a²，則f（x）=log_at（x）．
∴當(dāng)a＞1時(shí)，t（x）=ax²+2x+a²的對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{1}{a}$∈（-1，0），
∴t（x）=ax²+2x+a²在[-4-2]上單調(diào)遞減，f（x）是減函數(shù)，不滿(mǎn)足條件．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，t（x）=ax²+2x+a²的對(duì)稱(chēng)軸為x=-$\frac{1}{a}$＜-1，
要使函數(shù)f（x）=log_a（ax²+2x+a²）在[-4，-2]上是增函數(shù)，t（x）=ax²+2x+a²在[-4，-2]上是減函數(shù)，
故t（x）的圖象對(duì)稱(chēng)軸x=-$\frac{1}{a}$≥-2，且t（-2）＞0．
即 $\frac{1}{a}$≤2，且t（-2）=4a-4+a²＞0，求得$\frac{1}{2}$≤a＜-2+2$\sqrt{2}$，
綜上可得，a的范圍為 得$\frac{1}{2}$≤a＜-2+2$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．