Question

1．（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρcos（θ-\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$，以極點(diǎn)O為原點(diǎn)，極軸Ox為x的非負(fù)半軸，保持單位長度不變建立直角坐標(biāo)系xoy．求曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）已知直線l經(jīng)過點(diǎn)P（1，1），傾斜角α=$\frac{π}{6}$，
①寫出直線l的參數(shù)方程．
②設(shè)l與圓x²+y²=4相交與兩點(diǎn)A，B，求點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積．

Answer 1

分析 （1）利用極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式即可得出；
（2）①利用斜率的意義及其定點(diǎn)可得參數(shù)方程；②把直線參數(shù)方程代入圓的方程化為一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系即可得出．

解答 解：（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為$ρcos（θ-\frac{π}{3}）=\frac{1}{2}$，展開化為$\frac{1}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{3}}{2}ρsinθ$=$\frac{1}{2}$，∴曲線C的直角坐標(biāo)為：$x+\sqrt{3}y=1$，
（2）①直線的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=1+tcos\frac{π}{6}\\ y=1+tsin\frac{π}{6}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=1+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
②把直線$\left\{\begin{array}{l}x=1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=1+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$代入x²+y²=4可得${（1+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t）^2}+{（1+\frac{1}{2}t）^2}=4，{t^2}+（\sqrt{3}+1）t-2=0$，
∴t₁t₂=-2，則點(diǎn)P到A，B兩點(diǎn)的距離之積為2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)的公式、斜率的意義、參數(shù)方程及其應(yīng)用、一元二次方程及其根與系數(shù)的關(guān)系、直線與圓相交弦長問題，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．