Question

6．已知直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=m+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2，且直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)．
（1）若m=2，求直線l與曲線C兩交點(diǎn)的極坐標(biāo)；
（2）若$|AB|≤2\sqrt{3}$，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）m=2時(shí) 直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$的普通方程為：x-y=2，利用互化公式可得極坐標(biāo)方程．與ρ=2聯(lián)立得cosθ-sinθ=1．即可得出兩交點(diǎn)的極坐標(biāo)．
（2）直線l的普通方程為x-y-m=0，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4．由題意直線l與曲線C交于兩點(diǎn)以及$|AB|≤2\sqrt{3}$可知：圓C的圓心到直線l的距離1≤d＜2，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得出．

解答 解：（1）m=2時(shí)   直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{2}t}\\{y=\sqrt{2}t}\end{array}\right.$的普通方程為：x-y=2，
可得極坐標(biāo)方程為ρcosθ-ρsinθ=2，
聯(lián)立$\left\{{\begin{array}{l}{ρ=2}\\{ρcosθ-ρsinθ=2}\end{array}}\right.$  得cosθ-sinθ=1．
∴cosθ=1，sinθ=0；或cosθ=0，sinθ=-1，
∴兩交點(diǎn)的極坐標(biāo)為 （2，0），$（2，\frac{3π}{2}）$．
（2）直線l的普通方程為x-y-m=0，曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4．
由題意直線l與曲線C交于兩點(diǎn)以及$|AB|≤2\sqrt{3}$可知：
圓C的圓心到直線l的距離1≤d＜2，
∴$1≤\frac{|m|}{{\sqrt{2}}}＜2$，即知實(shí)數(shù)m的取值范圍是$（-2\sqrt{2}，-\sqrt{2}]$∪$[\sqrt{2}，2\sqrt{2}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程、參數(shù)方程化為普通方程、弦長公式、三角函數(shù)的求值、點(diǎn)到直線的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．