Question

13．已知函數(shù)f（x）=log₂（x+a）．
（1）當(dāng)a=1時，若0＜f（1-2x）-f（x）$＜\frac{1}{2}$，求x的取值范圍；
（2）若定義在R上的奇函數(shù)g（x）滿足g（x+2）=-g（x），且當(dāng)0≤x≤1時，g（x）=f（x），求g（x）在[-3，-1]上的函數(shù)表達式；
（3）對于（2）中的g（x），解關(guān)于x的不等式g（x）≥1-log₂3．

Answer 1

分析 （1）利用單調(diào)性得出0＜log₂$\frac{2-2x}{x+1}$$＜\frac{1}{2}$，且x＞-1，解不等式即可．
（2）利用奇偶性得出a=1，g（x+2）=-g（x），轉(zhuǎn)化得出當(dāng)0≤x≤1時，g（x）=log₂（x+1），當(dāng)-1≤x≤0時，當(dāng)-3≤x≤-2，當(dāng)-2≤x≤-1求解即可．
（3）分類轉(zhuǎn)化不等式為當(dāng)0≤x≤1時，log₂（x+1）≥1-log₂3，當(dāng)-1≤x≤0時，-log₂（1-x）≥1-log₂3，當(dāng)-3≤x≤-2，log₂（-x-1））≥1-log₂3，當(dāng)-2≤x≤-1，log₂（x+3））≥1-log₂3，分別求解不等式，得出并集即可．

解答 解：（1）∵當(dāng)a=1時，f（x）=log₂（x+1），x＞-1
∴f（1-2x）=log₂（2-2x），
∵0＜f（1-2x）-f（x）$＜\frac{1}{2}$，
∴0＜log₂$\frac{2-2x}{x+1}$$＜\frac{1}{2}$，且x＞-1，
即1＜$\frac{2-2x}{1+x}$$＜\sqrt{2}$且x＞-1，
求解得出3-2$\sqrt{2}$$＜x＜\frac{1}{3}$，
故x的取值范圍（3-2$\sqrt{2}$，$\frac{1}{3}$）
（2）∵g（x+2）=-g（x），
∴g（x+4）=g（x），
周期為：4，
∵當(dāng)0≤x≤1時，g（x）=f（x），
∴當(dāng)0≤x≤1時，g（x）=log₂（x+a），
∵定義在R上的奇函數(shù)g（x），
∴g（0）=0，即a=1，
∴當(dāng)0≤x≤1時，g（x）=log₂（x+1），
∵當(dāng)-1≤x≤0時，g（x）=-g（-x）=-log₂（1-x），
∴當(dāng)-1≤x≤0時，g（x）=-log₂（1-x），
∵當(dāng)-3≤x≤-2，則-1≤x+2≤0，g（x+2）=-log₂（-x-1）
∴當(dāng)-3≤x≤-2，g（x）=log₂（-x-1）
∵當(dāng)-2≤x≤-1，則0≤x+2≤1，g（x+2）=log₂（x+3）
∴當(dāng)-2＜x≤-1，g（x）=-log₂（x+3）
綜上g（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（-x-1），-3≤x≤-2}\\{-lo{g}_{2}（x+3），-2＜x≤-1}\end{array}\right.$．
（3）∵g（x）≥1-log₂3．
∴當(dāng)0≤x≤1時，log₂（x+1）≥1-log₂3，解集是[0，1]，
當(dāng)-1≤x≤0時，-log₂（1-x）≥1-log₂3，解集是{x|-$\frac{1}{2}$≤x≤0}
當(dāng)-3≤x≤-2，log₂（-x-1））≥1-log₂3，解集是{x|-3≤x≤-2}
當(dāng)-2≤x≤-1，log₂（x+3））≥1-log₂3，解集是[-2，-1]．
綜上解關(guān)于x的不等式g（x）≥1-log₂3．的解集為：{x|-3≤x≤-1或-$\frac{1}{2}$≤x≤1}

點評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分類討論的思想，考查了計算化簡能力，屬于中檔題．