Question

已知函數(shù)，其中，…為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值；

(2)若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，證明：.

Answer 1

 [解析] (1)由，得，所以

當]時，．

當時，，所以在上單調(diào)遞增，因此；

當時，，所以在上單調(diào)遞減，因此；

當時，令，得，

所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，

于是，在上的最小值是.

綜上所述，當時，在上的最小值是；

當時，在上的最小值是；

當時，在上的最小值是.

(2)證明：設(shè)為在區(qū)間內(nèi)的一個零點，則由可知，

在區(qū)間上不可能單調(diào)遞增，也不可能單調(diào)遞減．

則不可能恒為正，也不可能恒為負．故在區(qū)間)內(nèi)存在零點x₁.

同理在區(qū)間內(nèi)存在零點x₂.故在區(qū)間)內(nèi)至少有兩個零點．

由(1)知，當時，在上單調(diào)遞增，故在內(nèi)至多有一個零點；

當時，在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)至多有一個零點，不合題意．

所以.

此時在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．

因此，必有

由，有，

解得所以，函數(shù)在區(qū)間(0，1)內(nèi)有零點時，.