Question

3．已知f（x）=（x-a）（x-b）（x-c），其中a，b，c為常數(shù)．
（1）求證：f′（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）；
（2）若f′（x）≥0恒成立，求證：f（x）的圖象關(guān)于一定點(diǎn)對(duì)稱．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算即可，
（2）由f′（x）≥0恒成立，得到a²+b²+c²≤ab+bc+ac，根據(jù)基本不等式的性質(zhì)，得到a=b=c，繼而求出關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱．

解答 證明（1）f′（x）=（x-a）′（x-b）（x-c）+（x-a）[（x-b）（x-c）]′，
=（x-b）（x-c）+（x-a）[（x-b）′（x-c）+（x-b）（x-c）′]，
=（x-b）（x-c）+（x-a）[（x-c）+（x-b）]，
=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）；
（2）f′（x）=（x-a）（x-b）+（x-b）（x-c）+（x-a）（x-c）=x²-（a+b）x+ab+x²-（b+c）x+bc+x²-（a+c）x+ac=3x²-2（a+b+c）x+（ab+ac+bc）；
∵f′（x）≥0恒成立，
∴4（a+b+c）²-12（ab+ac+bc）≤0，
即（a+b+c）²≤3（ab+ac+bc），
∴a²+b²+c²≤ab+bc+ac，
∴2a²+2b²+2c²≤2ab+2bc+2ac，
∵a²+b²≥2|ab|，a²+c²≥2|ac|，c²+b²≥2|bc|，
∴a=b=c，
∴f（x）=（x-a）³，
∴f（x）的圖象關(guān)于（0，a）定點(diǎn)對(duì)稱．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，基本不等式，以及圖象的對(duì)稱，屬于中檔題．