Question

13．已知點(diǎn)B（4，0）、C（2，2），平面直角坐標(biāo)系上的動點(diǎn)P滿足$\overrightarrow{OP}=λ•\overrightarrow{OB}+μ•\overrightarrow{OC}$（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)，且1＜λ≤a，1＜μ≤b），若動點(diǎn)P組成的區(qū)域的面積為8，則a+b的最小值是4．

Answer 1

分析 先作向量$a•\overrightarrow{OB}，b•\overrightarrow{OC}$，結(jié)合圖形，根據(jù)λ，μ的范圍找到動點(diǎn)P所在的區(qū)域：平行四邊形FGHI，由向量$\overrightarrow{OB}，\overrightarrow{OC}$求出sin∠BOC，求平行四邊形FGHI，從而可得到$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$，從而a+b=（a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{1}）$，根據(jù)基本不等式即可求得a+b的最小值．

解答 解：如圖，在x軸上取點(diǎn)D，使|OD|=a|OB|，延長OC到E，使|OE|=b|OC|；
作CH∥OD，BF∥OE，EG∥OD，DG∥OE，則：
動點(diǎn)P組成的區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅蜦GHI及其內(nèi)部；
∵$\overrightarrow{OB}=（4，0），\overrightarrow{OC}=（2，2）$；
∴$cos∠BOC=\frac{\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{OC}}{|\overrightarrow{OB}||\overrightarrow{OC}|}=\frac{8}{8\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴$sin∠BOC=\frac{\sqrt{2}}{2}$；
∴${S}_{四邊形FGHI}=（a-1）•4•（b-1）•2\sqrt{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}=8$；
∴（a-1）•（b-1）=1；
∴ab-a-b=0；
∴$\frac{1}{a}+\frac{1}=1$；
∴$a+b=（a+b）（\frac{1}{a}+\frac{1}）=2+\frac{a}+\frac{a}≥4$，當(dāng)a=b=2時取“=”；
∴a+b的最小值為4．
故答案為：4．

點(diǎn)評 考查數(shù)乘的幾何意義，平面向量基本定理，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)求向量的坐標(biāo)，向量夾角余弦公式的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，平行四邊形的面積公式，以及基本不等式用于求最值．