Question

1．在平面直角坐標(biāo)系中，把橫、縱坐標(biāo)均為有理數(shù)的點(diǎn)稱為有理點(diǎn)．若a為無(wú)理數(shù)，則在過(guò)點(diǎn)P（a，-$\frac{1}{2}$）的所有直線中（　�。�

• A． 有無(wú)窮多條直線，每條直線上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn)
• B． 恰有n（n≥2）條直線，每條直線上至少存在兩個(gè)有理點(diǎn)
• C． 有且僅有一條直線至少過(guò)兩個(gè)有理點(diǎn)
• D． 每條直線至多過(guò)一個(gè)有理點(diǎn)

Answer 1

分析 根據(jù)題意，假設(shè)一條直線上存在兩個(gè)有理點(diǎn)，由此推斷滿足條件的直線有多少即可．

解答 解：設(shè)一條直線上存在兩個(gè)有理點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由于$P（a，-\frac{1}{2}）$也在此直線上，
所以，當(dāng)x₁=x₂時(shí)，有x₁=x₂=a為無(wú)理數(shù)，與假設(shè)矛盾，此時(shí)該直線不存在有理點(diǎn)；
當(dāng)x₁≠x₂時(shí)，直線的斜率存在，且有$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}=\frac{{{y_2}+\frac{1}{2}}}{{{x_2}-a}}$，
又x₂-a為無(wú)理數(shù)，而$\frac{{{y_2}-{y_1}}}{{{x_2}-{x_1}}}$為有理數(shù)，
所以只能是${y_2}+\frac{1}{2}=0$，且y₂-y₁=0，
即${y_2}={y_1}=-\frac{1}{2}$；
所以滿足條件的直線只有一條，且直線方程是$y=-\frac{1}{2}$；
所以，正確的選項(xiàng)為C．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了新定義的關(guān)于直線方程與直線斜率的應(yīng)用問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是理解新定義的內(nèi)容，尋找解題的途徑，是難理解的題目．