Question

18．在某次軍事演習中紅方為了準確分析戰(zhàn)場形勢，在兩個相距為$\frac{\sqrt{3}a}{2}$的軍事基地C和D，測得藍方兩支精銳部隊分別在A處和B處，且∠ADB=30°，∠BDC=30°，∠DCA=60°，∠ACB=45°，如圖所示，求藍方這兩支精銳部隊的距離．

Answer 1

分析 在△BCD中使用正弦定理求出BC，在△ABC中使用余弦定理求出AB．

解答 解：∵∠BCD=∠DCA-∠ACB=60°-45°=15°，∴∠DBC=180°-∠BDC-∠BCD=135°，
在△BCD中，由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠DBC}=\frac{BC}{sin∠BDC}$，即$\frac{\frac{\sqrt{3}a}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{BC}{\frac{1}{2}}$，解得BC=$\frac{\sqrt{6}a}{4}$．
∵∠ADC=∠ADB+∠BDC=60°，∠DCA=60°，∴△ACD是等邊三角形，∴AC=CD=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$．
在△ABC中，由余弦定理得AB²=BC²+AC²-2AB•AC•cos∠ACB=$\frac{3{a}^{2}}{8}$，∴AB=$\frac{\sqrt{6}a}{4}$．
∴藍方這兩支精銳部隊的距離為$\frac{\sqrt{6}a}{4}$．

點評 本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．