Question

【題目】對(duì)于復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），定義，給出下列命題：①對(duì)任何復(fù)數(shù)z，都有，等號(hào)成立的充要條件是；②：③若，則：④對(duì)任何復(fù)數(shù)，不等式恒成立，其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ）

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

在①中，當(dāng)z＝0時(shí)，‖z‖＝0；反之，當(dāng)‖z‖＝0時(shí)，z＝0；在②中，z＝a+bi，a﹣bi，從而‖z‖＝‖‖＝|a|+|b|；在③中，當(dāng)z1＝2+3i，z2＝3+2i時(shí)，不成立；④由絕對(duì)值的性質(zhì)得到‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立．

由復(fù)數(shù)z＝a+bi（a、b∈R，i為虛數(shù)單位），定義‖z‖＝|a|+|b|，知：

在①中，對(duì)任何復(fù)數(shù)，都有‖z‖≥0，

當(dāng)z＝0時(shí)，‖z‖＝0；反之，當(dāng)‖z‖＝0時(shí)，z＝0，

∴等號(hào)成立的充要條件是z＝0，故①成立；

在②中，∵z＝a+bi，a﹣bi，∴‖z‖＝‖‖＝|a|+|b|，故②成立；

在③中，當(dāng)z1＝2+3i，z2＝3+2i時(shí)，‖z1‖＝‖z2‖，但z1≠±z2，故③錯(cuò)誤；

④對(duì)任何復(fù)數(shù)z1，z2，z3，

設(shè)z1＝a1+b1i，z2＝a2+b2i，z3＝a3+b3i，

則‖z1﹣z3‖＝|a1﹣a3|+|b1﹣b3|，

‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖＝|a1﹣a2|+|a2﹣a3|+|b1﹣b2|+|b2﹣b3|，

|a1﹣a3|≤|a1﹣a2|+|a2﹣a3|，

|b1﹣b3|≤|b1﹣b2|+|b2﹣b3|，

∴‖z1﹣z3‖≤‖z1﹣z2‖+‖z2﹣z3‖恒成立．故④成立．

故選：C．