Question

11．已知函數(shù)f（x）=mx-$\frac{m}{x}$，g（x）=2lnx．
（Ⅰ）當m=1時，判斷方程f（x）=g（x）在區(qū)間（1，+∞）上有無實根．
（Ⅱ）若x∈（1，e]時，不等式f（x）-g（x）＜2恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）m=1時，令$h（x）=f（x）-g（x）=x-\frac{1}{x}-2lnx$，求導數(shù)，證明h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，利用h（1）=0，可得結論；
（Ⅱ）$mx-\frac{m}{x}-2lnx＜2$恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，又x²-1＞0，則當x∈（1，e]時，$m＜\frac{2x+2xlnx}{{{x^2}-1}}$恒成立，構造函數(shù)$G（x）=\frac{2x+2xlnx}{{{x^2}-1}}$，只需m小于G（x）的最小值．

解答 解：（Ⅰ）m=1時，令$h（x）=f（x）-g（x）=x-\frac{1}{x}-2lnx$，…（1分）
$h'（x）=1+\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}=\frac{{{{（{x-1}）}^2}}}{x^2}≥0$，…（4分）
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)…（5分）
又h（1）=0，∴f（x）=g（x）在（1，+∞）內無實數(shù)根…（6分）
（Ⅱ）$mx-\frac{m}{x}-2lnx＜2$恒成立，即m（x²-1）＜2x+2xlnx恒成立，
又x²-1＞0，則當x∈（1，e]時，$m＜\frac{2x+2xlnx}{{{x^2}-1}}$恒成立，…（8分）
令$G（x）=\frac{2x+2xlnx}{{{x^2}-1}}$，只需m小于G（x）的最小值，
$G'（x）=\frac{{-2（{x^2}lnx+lnx+2）}}{{{{（{{x^2}-1}）}^2}}}$，…（10分）
∵1＜x≤e，∴l(xiāng)nx＞0，
∴當x∈（1，e]時，G′（x）＜0，∴G（x）在（1，e]上單調遞減，
∴G（x）在（1，e]的最小值為$G（e）=\frac{4e}{{{e^2}-1}}$，
則m的取值范圍是$（{-∞，\frac{4e}{{{e^2}-1}}}）$…（12分）

點評 本題考查導數(shù)知識的綜合運用，考查函數(shù)的單調性，考查恒成立問題，正確分離參數(shù)，構造函數(shù)求最值是關鍵．