Question

12．圓心M在直線y=x上，圓與直線x-2y+6=0相切于點(diǎn)（0，3）．
（1）求圓M的方程；
（2）若直線l：x-y+b=0與圓M相交于不同兩點(diǎn)A、B，求$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由題意設(shè)圓心坐標(biāo)是（m，m），由圓心到切線的距離等于圓的半徑列式求得m值，則圓的方程可求；
（2）聯(lián)立直線方程和圓的方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系求得A，B兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的積，代入向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．

解答 解：（1）由題意設(shè)圓心坐標(biāo)是（m，m），
則$\frac{|m-2m+6|}{\sqrt{5}}=\sqrt{{m}^{2}+（m-3）^{2}}$，
即（6-m）²=5[m²+（m-3）²]
解得：m=1．
∴圓的半徑r=$\frac{|6-1|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，
∴圓M的方程為（x-1）²+（y-1）²=5；
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y+b=0}\\{（x-1）^{2}+（y-1）^{2}=5}\end{array}\right.$，得2x²+2（b-2）x+b²-2b-3=0，
∵直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)，∴△=4（b-2）²-8（b²-2b-3）＞0，
解得：$-\sqrt{10}＜b＜\sqrt{10}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=2-b，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{^{2}-2b-3}{2}$，
因此y₁y₂=（x₁+b）（x₂+b）=${x}_{1}{x}_{2}+b（{x}_{1}+{x}_{2}）+^{2}$=$\frac{^{2}+2b-3}{2}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=b²-3，
∵$-\sqrt{10}＜b＜\sqrt{10}$，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$∈[-3，7）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了“舍而不求”的解題思想方法，是中檔題．