Question

15．在直角坐標系xOy中，直線l過點P（0，$\frac{1}{2}$），且傾斜角為150°，以O(shè)為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，圓C的極坐標方程為ρ²+2ρcosθ=0（θ為參數(shù)，ρ＞0）．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和圓C的直角坐標方程；
（2）設(shè)直線l與圓C相交于A，B兩點，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）；圓C的極坐標方程為ρ²+2ρcosθ=0（θ為參數(shù)，ρ＞0），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\\{{ρ}^{2}={x}^{2}+{y}^{2}}\end{array}\right.$即可化為直角坐標方程．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入圓的方程可得：$4{t}^{2}+（2-4\sqrt{3}）$t+1=0，利用|PA|•|PB|=|t₁t₂|即可得出．

解答 解：（1）直線l過點P（0，$\frac{1}{2}$），且傾斜角為150°，∴直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$，（t為參數(shù)）；
圓C的極坐標方程為ρ²+2ρcosθ=0（θ為參數(shù)，ρ＞0），化為x²+y²+2x=0．
（2）把$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{3}}{2}t}\\{y=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}t}\end{array}\right.$代入圓的方程可得：$4{t}^{2}+（2-4\sqrt{3}）$t+1=0，
∴|PA|•|PB|=|t₁t₂|=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了直線的參數(shù)方程及其應用、極坐標方程化為直角坐標方程，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．