Question

9．如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分別是棱AB，A₁D₁，AD的中點，求證：
（Ⅰ）平面MNP∥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）MN⊥AC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）只要證明MP∥BD，NP∥DD₁，利用面面平行的判定定理可證；
（Ⅱ）由已知容易得到NP⊥底面ABCD，利用射影定理，只要證明MP⊥AC即可．

解答 證明：（Ⅰ）∵在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分別是棱AB，A₁D₁，AD的中點，
∴MP∥BD，NP∥DD₁，
∴平面MNP∥平面BDD₁B₁；
（Ⅱ）由已知，可得NP∥DD₁，又DD₁⊥底面ABCD，
∴NP⊥底面ABCD，
∴MN在底面ABCD的射影為MP，
∵M，N是AB，A₁D₁的中點，
∴MP∥BD，又BD⊥AC，
∴MP⊥AC，
∴MN⊥AC．

點評 本題考查了正方體的性質以及線面平行、面面平行的判定定理和性質定理的運用．