Question

18．已知函數(shù)f（x）=x²-2（a-1）x+2，x∈[-5，5]．
（1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)；
（2）求f（x）最小值．

Answer 1

分析 （1）通過配方可知函數(shù)y=f（x）的圖象是以x=a-1為對(duì)稱軸、開口向上的拋物線，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）通過（1）、分對(duì)稱軸在區(qū)間[-5，5]的左側(cè)、中間、右側(cè)三種情況討論即可．

解答 解：（1）f（x）=x²-2（a-1）x+2
=[x-（a-1）]²+2-（a-1）²
=[x-（a-1）]²+1+2a-a²，
∴當(dāng)a-1≤-5或a-1≥5即a≤-4或a≥6時(shí)y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上是單調(diào)函數(shù)；
（2）通過（1）可知，當(dāng)a≤-4時(shí)，y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（-5）=25+10a-10+2=10a+17；
當(dāng)a≥6時(shí)，y=f（x）在區(qū)間[-5，5]上單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（5）=25-10a+10+2=-10a+37；
當(dāng)-4＜a＜6時(shí)，y=f（x）在區(qū)間[-5，a-1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間[a-1，5]上單調(diào)遞增，
∴f（x）_min=f（a-1）=1+2a-a²；
綜上所述，f（x）_min=$\left\{\begin{array}{l}{10a+17，}&{a≤-4}\\{1+2a-{a}^{2}，}&{-4＜a＜6}\\{-10a+37，}&{a≥6}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．