Question

7．某景點(diǎn)為了提高門(mén)票收入，需要進(jìn)一步改造升級(jí)，經(jīng)過(guò)市場(chǎng)調(diào)查，門(mén)票新增額s（萬(wàn)元）與改造投入資金x（萬(wàn)元）之間滿足s=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³+x-xln（ax）（1≤x≤60），當(dāng)x=10時(shí)，s=102，景點(diǎn)新增毛收入f（x）（萬(wàn)元）為門(mén)票新增額扣除改造投入資金．
（1）求y=f（x）的解析式；
（2）若將$\frac{f（x）}{x}$定義為投入改造資金的收益率，試確定投入資金x（萬(wàn)元）的大小，使得改造資金的收益率最高，并求出最高收益率（參考數(shù)據(jù)：ln5=1.61）

Answer 1

分析 （1）通過(guò)將x=10、s=102代入s=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³+x-xln（ax）整理、計(jì)算可知a=$\frac{1}{10}$，進(jìn)而計(jì)算可得結(jié)論；
（2）通過(guò)記g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，計(jì)算可知g（x）=$\frac{51}{50}$x-$\frac{1}{100}$x²-lnx+ln10（1≤x≤60），通過(guò)求導(dǎo)、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性計(jì)算即得結(jié)論．

解答 解：（1）將x=10、s=102代入s=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³+x-xln（ax）（1≤x≤60），
得：102=102-10+10-10ln（10a），即a=$\frac{1}{10}$，
∴s=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³+x-xln（$\frac{1}{10}$x）（1≤x≤60），
∴y=f（x）=s-x
=$\frac{51}{50}$x²-$\frac{1}{100}$x³-xln（$\frac{1}{10}$x）（1≤x≤60）；
（2）記g（x）=$\frac{f（x）}{x}$=$\frac{51}{50}$x-$\frac{1}{100}$x²-ln（$\frac{1}{10}$x），則g（x）=$\frac{51}{50}$x-$\frac{1}{100}$x²-lnx+ln10（1≤x≤60），
令g′（x）=$\frac{51}{50}$-$\frac{1}{50}$x-$\frac{1}{x}$=$\frac{51x-{x}^{2}-50}{50x}$=$\frac{-（x-1）（x-50）}{50x}$=0，
可知x=1或x=50，
列表如下：

x	1	（1，50）	50	（50，60）	60
g′（x）	0	+	0	-
g（x）		↑	極大值	↓

由上表可知，g（50）是極大值，也是最大值，
g（x）_max=g（50）=51-25-ln5=26-1.61=24.39，
答：當(dāng)投入資金50萬(wàn)元時(shí)，改造資金的收益最高，最高效益率為24.39．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，考查分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．