Question

（本小題滿分14分）已知拋物線的焦點以及橢圓的上、下焦點及左、右頂點均在圓上．

（1）求拋物線和橢圓的標準方程；

（2）過點的直線交拋物線于兩不同點，交軸于點，已知，，求的值；

（3）直線交橢圓于兩不同點，在軸的射影分別為，，若點滿足，證明：點在橢圓上．

Answer 1

（1），；（2）-1；（3）證明詳見解析.

【解析】

試題分析：本題主要考查拋物線的標準方程、橢圓的標準方程、直線與拋物線的相交問題、直線與橢圓的相交問題等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、推理論證能力、轉化能力、計算能力. 第一問，利用拋物線的焦點在圓上，列出表達式，解出P的值，從而得到拋物線的標準方程，同理，利用橢圓的上下焦點及左右頂點均在圓上，可得到a、b、c的值，從而得到橢圓的標準方程；第二問，設出直線AB的方程，與拋物線聯(lián)立，消參，利用韋達定理，得到、代入到中，計算化簡即可；第三問，設出P、Q坐標，由，得到，

試題解析：（1）由拋物線的焦點在圓上得：從而得到①②③三個表達式，相加得，從而驗證得S滿足橢圓方程.

，， ..1分

∴拋物線 .. .2分

同理由橢圓上、下焦點及左、右頂點均在圓上可解得：． 4分

得橢圓． 5分

（2）設直線的方程為，則．

聯(lián)立方程組，消去得： .6分

且 ..7分

由得：

整理得： .. 8分

． ..9分

（3）設，則

由得 ① .10分

② .11分

③ 12分

由①+②+③得 . ...13分

∴滿足橢圓的方程，命題得證． ....14分

考點：拋物線的標準方程、橢圓的標準方程、直線與拋物線的相交問題、直線與橢圓的相交問題.