Question

7．如圖，平行六面體體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，所有棱長均為1，且∠BAD=∠A₁AB=∠A₁AC=60°．
（Ⅰ）求證：平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）求四棱錐A₁-BB₁D₁D的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接AC、BD、A₁B、A₁D，AC與BD相交于一點O，連接A₁O，證明BD⊥平面A₁ACC₁，然后證明平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）說明四棱錐A₁-BB₁D₁D為正四棱錐，求出A₁到平面BB₁D₁D的距離，底面${S}_{{BB}_{1}{D}_{1}D}=1×1=1$，然后求解體積．

解答 （Ⅰ）證明：連接AC、BD、A₁B、A₁D，AC與BD相交于一點O，連接A₁O，
因為平行六面體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，所有棱長均為1，
所以AC⊥BD，且O為BD中點，∠BAD=∠A₁AB=∠A₁AD=60°，
所以A₁B=A₁D=BD，所A₁O⊥BD，A₁O∩A₁C=O，
所以BD⊥平面A₁ACC₁，BD?平面A₁BD，
所以平面A₁BD⊥平面A₁ACC₁；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知A₁A⊥BD，又A₁A∥B₁B，所以B₁B⊥BD，
四棱錐A₁-BB₁D₁D為正四棱錐，V=$\frac{1}{3}$${S}_{{BB}_{1}{D}_{1}D}$•h，h為A₁到平面BB₁D₁D的距離，h=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-{（\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，${S}_{{BB}_{1}{D}_{1}D}=1×1=1$，
∴$V=\frac{{\sqrt{2}}}{6}$．

點評 本題考查幾何體的體積的求法，平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計算能力．