Question

8．設(shè)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且對于?x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），已知當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=2^1-x則
（1）f（x）的周期是2；
（2）f（x）在（1，2）上遞減，在（2，3）上遞增；
（3）f（x）的最大值是2，最小值是1；
（4）當(dāng)x∈（3，4）時，f（x）=2^x-3
其中正確的命題的序號是（1）、（3）、（4）．

Answer 1

分析 由f（x+1）=f（x-1）可知函數(shù)的周期為2，
由f（x）在[0，1]上是減函數(shù)知f（x）在（2，3）上遞減，
由函數(shù)的周期性知求f（x）在[0，1]上的最值即可，
由函數(shù)的周期性求x∈（3，4）時的解析式即可．

解答 解：∵對于?x∈R恒有f（x+1）=f（x-1），
∴f（x）的周期是2；故（1）正確；
∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=2^1-x，
∴f（x）在[0，1]上是減函數(shù)，
∴f（x）在（2，3）上遞減，故（2）不正確；
∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=2^1-x，且f（x）的周期是2，是定義在R上的偶函數(shù)；
∴f_max（x）=f（0）=2，f_min（x）=f（1）=1；故（3）正確；
∵當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=2^1-x，又∵f（-x）=f（x），
∴當(dāng)x∈（-1，0）時，f（x）=f（-x）=2^1+x，
∴當(dāng)x∈（3，4）時，f（x）=2^1+（x-4）2^x-3，故（4）正確；
故答案為：（1）、（3）、（4）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，同時考查了抽象函數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．