Question

15．已知α是第二象限的角，且sin⁴α+cos⁴α=$\frac{5}{8}$，求cosα$\sqrt{\frac{1-sinα}{1+sinα}}$+sinα$\sqrt{\frac{1-cosα}{1+cosα}}$的值．

Answer 1

分析 已知等式利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系變形，整理求出sinαcosα的值，再利用完全平方公式及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinα-cosα的值，原式被開方數(shù)分子分母乘以分子，利用二次根式性質(zhì)及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)，整理后將sinα-cosα的值代入計(jì)算即可求出值．

解答 解：∵α是第二象限的角，且sin⁴α+cos⁴α=$\frac{5}{8}$，即（sin²α+cos²α）²-2sin²αcos²α=1-2sin²αcos²α=$\frac{5}{8}$，
∴cosα＜0，sinα＞0，sinαcosα=-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，即sinα-cosα=$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
則原式=cosα•$\sqrt{\frac{（1-sinα）^{2}}{1-si{n}^{2}α}}$+sinα•$\sqrt{\frac{（1-cosα）^{2}}{1-co{s}^{2}α}}$=-1+sinα+1-cosα=sinα-cosα=$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．