Question

7．已知如圖，A、D是⊙O上的點(diǎn)，A、B、C三點(diǎn)在一條直線上，直線CD經(jīng)過圓心O，BD⊥BC，$\frac{BA}{AC}$=$\frac{DB}{DC}$．
（Ⅰ）求證：直線BC是⊙O的切線；
（Ⅱ）若AB=$\sqrt{5}$，DO=2，求BO的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延長(zhǎng)BD到E，使DE=DC，連結(jié)CE、AD、AO，證明BD∥AO，AO⊥BC，即可證明直線BC是⊙O的切線；
（Ⅱ）延長(zhǎng)BO交⊙O于F，設(shè)BO交⊙O于G，由（Ⅰ）得AB²=BG•BF=（BO-DO）（BO+DO），即可求BO的長(zhǎng)．

解答 （Ⅰ）證明：延長(zhǎng)BD到E，使DE=DC，連結(jié)CE、AD、AO．
∴∠E=∠DCE，∠OAD=∠ODA．…（1分）
∵$\frac{BA}{AC}$=$\frac{DB}{DC}$，∴$\frac{BA}{AC}$=$\frac{DB}{DE}$，
∴AD∥CE．…（2分）
∴∠E=∠ADB，∠ODA=∠DCE，
∴∠ODA=∠ADB．…（3分）
∴∠BAD=∠OAD．
∴BD∥AO．…（4分）
∵BD⊥BC，
∴AO⊥BC，…（5分）
∴直線BC是⊙O的切線．…（6分）
（Ⅱ）解：延長(zhǎng)BO交⊙O于F，設(shè)BO交⊙O于G．
由（Ⅰ）得AB²=BG•BF=（BO-DO）（BO+DO），…（8分）
∵AB=$\sqrt{5}$，DO=2，
∴（$\sqrt{5}$）²=BO²-2²，…（9分）
解得，BO=3．…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查切割線定理的運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．