Question

7．已知a＞0，b∈R，函數(shù)f（x）=4ax²-2bx-a+b的定義域?yàn)閇0，1]．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求b的取值范圍；
（Ⅱ）記f（x）的最大值為M，證明：f（x）+M＞0．

Answer 1

分析 （1）由題意可得f（0）≥0，f（1）≥0，△＞0，0＜$\frac{4}$＜1，解不等式即可得到所求范圍；
（2）求出對(duì)稱軸，討論對(duì)稱軸和區(qū)間[0，1]的關(guān)系，可得最值，即可證明f（x）+M＞0．

解答 解：（1）由題意可得f（x）=4x²-2bx-1+b在[0，1]內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
即有 $\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b-1≥0}\\{f（1）=3-b≥0}\\{△={4b}^{2}-16（b-1）＞0}\\{0＜\frac{4}＜1}\end{array}\right.$，
解得1≤b＜2或2＜b≤3；
（2）記f（x）的最大值為M，證明：f（x）+M＞0．
只需證明f（x）_最小值+M＞0即可，設(shè)f（x）的最小值是m，
問題轉(zhuǎn)化為證明M+m＞0，
證明如下：f（x）的對(duì)稱軸為x=$\frac{4a}$，
當(dāng)$\frac{4a}$＞1時(shí)，區(qū)間[0，1]為減區(qū)間，可得M=f（0）=b-a，
m=f（1）=3a-b，則M+m=2a＞0；
當(dāng)$\frac{4a}$＜0時(shí)，區(qū)間[0，1]為增區(qū)間，可得m=f（0）=b-a，
M=f（1）=3a-b，則M+m=2a＞0；
當(dāng)0≤$\frac{4a}$≤1時(shí)，區(qū)間[0，$\frac{4a}$]為減區(qū)間，[$\frac{4a}$，1]為增區(qū)間，
可得m=f（$\frac{4a}$）=$\frac{4ab-{4a}^{2}{-b}^{2}}{4a}$，
若f（0）≤f（1），即b≤2a，可得M=f（1）=3a-b，
M+m=$\frac{{8a}^{2}^{2}}{4a}$≥$\frac{{8a}^{2}-{a}^{2}}{4a}$=$\frac{7}{4}$a＞0；
若f（0）＞f（1），即2a＜b≤4a，可得M=f（0）=b-a，
M+m=$\frac{8ab-{8a}^{2}{-b}^{2}}{4a}$=$\frac{{-（b-4a）}^{2}+{8a}^{2}}{4a}$，
由于2a＜b≤4a，可得M+m∈（a，2a]，即為M+m＞0．
綜上可得：f（x）_max+f（x）_min＞0恒成立，即f（x）+M＞0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題的解法，注意運(yùn)用二次函數(shù)的圖象，考查函數(shù)的最值的求法，注意討論對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．