Question

15．如圖，正方體ABC-A₁B₁C₁D₁中，M是棱BB₁的中點(diǎn)．
（1）求直線A₁M與平面AMC₁所成角的正弦值；
（2）求二面角A-MC₁-A₁的余弦值．

Answer 1

分析 （1）首先分別以直線DA，DC，DD₁為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，可求出一些點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)平面AMC₁的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，根據(jù)$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AM}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0}\end{array}\right.$，即可求出法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，設(shè)直線A₁M和平面AMC₁所成角為θ，則根據(jù)$sinθ=|cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{A}_{1}M}＞|$即可求得直線A₁M與平面AMC₁所成角的正弦值；
（2）設(shè)平面A₁MC₁的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}$=（x₂，y₂，z₂），和求$\overrightarrow{{n}_{1}}$的方法一樣可以求出$\overrightarrow{{n}_{2}}$，而法向量$\overrightarrow{{n}_{1}}$，$\overrightarrow{{n}_{2}}$的夾角等于二面角A-MC₁-A₁的大小，從而根據(jù)$cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}＞=\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$即可求得答案．

解答 解：（1）以邊DA，DC，DD₁所在直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則：
A（2，0，0），B（2，2，0），B₁（2，2，2），M（2，2，1），C₁（0，2，2），A₁（2，0，2）；
設(shè)平面AMC₁的法向量為$\overrightarrow{{n}_{1}}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，則$\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{AM}，\overrightarrow{{n}_{1}}⊥\overrightarrow{A{C}_{1}}$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{AM}=2{y}_{1}+{z}_{1}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=-2{x}_{1}+2{y}_{1}+2{z}_{1}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{1}=-{x}_{1}}\\{{z}_{1}=2{x}_{1}}\end{array}\right.$，取x₁=1，則$\overrightarrow{{n}_{1}}=（1，-1，2）$；
設(shè)A₁M和平面AMC₁所成角為θ，則：
sinθ=$|cos＜\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{A}_{1}M}＞|=\frac{|\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{A}_{1}M}|}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{A}_{1}M}|}=\frac{4}{\sqrt{6}•\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{30}}{15}$；
（2）設(shè)平面A₁MC₁的法向量為$\overrightarrow{{n}_{2}}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，則：
$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}M}=2{y}_{2}-{z}_{2}=0}\\{\overrightarrow{{n}_{2}}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=-2{x}_{2}+2{y}_{2}=0}\end{array}\right.$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}={y}_{2}}\\{{z}_{2}=2{y}_{2}}\end{array}\right.$，取y₂=1，∴$\overrightarrow{{n}_{2}}=（1，1，2）$；
設(shè)二面角A-MC₁-A₁的平面角的大小為φ，則：
cosφ=cos＜$\overrightarrow{{n}_{1}}，\overrightarrow{{n}_{2}}$＞=$\frac{\overrightarrow{{n}_{1}}•\overrightarrow{{n}_{2}}}{|\overrightarrow{{n}_{1}}||\overrightarrow{{n}_{2}}|}$=$\frac{4}{\sqrt{6}•\sqrt{6}}=\frac{2}{3}$；
∴二面角A-MC₁-A₁的余弦值為$\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量解決線面角，二面角的問(wèn)題的方法，平面法向量的概念及求法，線面垂直的判定定理，非零向量垂直的充要條件，要弄清直線方向向量和平面法向量所成角與直線和平面所成角的關(guān)系，兩平面法向量的夾角和二面角大小的關(guān)系，以及向量夾角余弦的坐標(biāo)公式．