Question

4．已知奇函數(shù)f（x）=$\frac{x+n}{{x}^{2}+m}$的定義域?yàn)镽，f（2）=$\frac{2}{5}$．
（1）求實(shí)數(shù)m，n的值；
（2）若g（x）=log₂x-f（x），求證函數(shù)g（x）在（0，+∞）上有零點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由題意得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=\frac{n}{m}=0}\\{f（2）=\frac{2+n}{4+m}=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，從而解得．
（2）可判斷g（x）=log₂x-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）上連續(xù)，再由g（1）=0-$\frac{1}{2}$＜0，g（4）=2-$\frac{4}{17}$＞0作出判斷．

解答 解：（1）由題意得，$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=\frac{n}{m}=0}\\{f（2）=\frac{2+n}{4+m}=\frac{2}{5}}\end{array}\right.$，
解得，n=0，m=1；
（2）證明：g（x）=log₂x-$\frac{x}{{x}^{2}+1}$在（0，+∞）上連續(xù)，
g（1）=0-$\frac{1}{2}$＜0，g（4）=2-$\frac{4}{17}$＞0；
∴g（1）•g（4）＜0，
∴函數(shù)g（x）在（0，+∞）上有零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用及函數(shù)的零點(diǎn)的判斷．