Question

18．某公司生產的某產品每件成本為40元，經市場調查整理出如下信息：

時間：（第x天）	1	3	6	10	…
日銷量（m件）	198	194	188	180	…

①該產品90天內日銷量（m件）與時間（第x天）滿足一次函數關系，部分數據如下表：
②該產品90天內銷售價格（元/件）與時間（第x天）的關系如下表：

時間：（第x天）	1≤x＜50	50≤x＜90
銷售價格（元/件）	x+60	100

（1）求m關于x的函數關系；
（2）設銷售該產品每天利潤為y元，求y關于x的函數表達式；并求出在90天內該產品哪天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？[每天利潤=日銷量x（銷售價格-每件成本）]．

Answer 1

分析 （1）根據待定系數法解出一次函數解析式即可；
（2）設利潤為y元，則當1≤x＜50時，y=-2x²+160x+4000；當50≤x≤90時，y=-120x+12000，分別求出各段上的最大值，比較即可得到結論

解答 解：（1）∵m與x成一次函數，
∴設m=kx+b，將x=1，m=198，x=3，m=194代入，得：$\left\{\begin{array}{l}{k+b=198}\\{3k+b=194}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=200}\end{array}\right.$．
所以m關于x的一次函數表達式為m=-2x+200；
（2）設銷售該產品每天利潤為y元，y關于x的函數表達式為：$\left\{\begin{array}{l}{y=-2{x}^{2}+160x+4000，1≤x≤50}\\{y=-120x+12000，50≤x≤90}\end{array}\right.$，
當1≤x＜50時，y=-2x²+160x+4000=-2（x-40）²+7200，
∵-2＜0，
∴當x=40時，y有最大值，最大值是7200；
當50≤x≤90時，y=-120x+12000，
∵-120＜0，
∴y隨x增大而減小，即當x=50時，y的值最大，最大值是6000；
綜上所述，當x=40時，y的值最大，最大值是7200，即在90天內該產品第40天的銷售利潤最大，最大利潤是7200元．

點評 本題考查分段函數，考查函數的最值，解題的關鍵是正確寫出分段函數的解析式，屬于中檔題．