Question

6．設數(shù)列{a_n}（n∈N）滿足a₀=0，a₁=2，且對一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2．
（1）求a₂，a₃的值；
（2）證明：數(shù)列{a_n-a_n-1}為等差數(shù)列；
（3）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析 （1）由數(shù)列{a_n}（n∈N）滿足a₀=0，a₁=2，且對一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2，分別令n=0，1即可得出．
（2）由a_n+2=2a_n+1-a_n+2，變形可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，即可證明；
（3）利用（2）與“累加求和”即可得出．

解答 （1）解：∵數(shù)列{a_n}（n∈N）滿足a₀=0，a₁=2，且對一切n∈N，有a_n+2=2a_n+1-a_n+2，
∴a₂=2a₁-a₀+2=2×2-0+2=6，a₃=2a₂-a₁+2=12-2+2=12．
（2）證明：由a_n+2=2a_n+1-a_n+2，可得（a_n+2-a_n+1）-（a_n+1-a_n）=2，
∴數(shù)列列{a_n-a_n-1}為等差數(shù)列，
且首項 a₁-a₀=2-0=2，公差為2．
（3）解：由（2）可得：a_n-a_n-1=2+2（n-1）=2n．
∴a_n=a₁+（a₂-a₁）+（a₃-a₂）+…+（a_n-a_n-1）=2+4+6+…+2n=$\frac{n（2+2n）}{2}$=n²+n．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“累加求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．