Question

5．（1）已知i是虛數(shù)單位，求復(fù)數(shù)z=$\frac{1+2i}{1+i}$的虛部．
（2）設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$ax³+2ax²+（1-2a）x，a，b∈R，a≠0，求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）利用復(fù)數(shù)的運算法則、虛部的定義即可得出．
（2）f′（x）=ax²+4ax+（1-2a）．（a≠0）．△=24a（a-$\frac{1}{6}$），對△分類討論：當(dāng)△≤0時，即$0＜a≤\frac{1}{6}$，f′（x）≥0，即可得出f（x）在R上單調(diào)性．當(dāng)△＞0時，即$a＞\frac{1}{6}$或a＜0，令f′（x）=0，解得x₁=$\frac{-2a-\sqrt{6{a}^{2}-a}}{a}$，x₂=$\frac{-2a+\sqrt{6{a}^{2}-a}}{a}$．f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．分類討論即可得出單調(diào)性．

解答 解：（1）復(fù)數(shù)z=$\frac{1+2i}{1+i}$=$\frac{（1+2i）（1-i）}{（1+i）（1-i）}$=$\frac{3+i}{2}$=$\frac{3}{2}+\frac{1}{2}i$的虛部為$\frac{1}{2}$．
（2）f′（x）=ax²+4ax+（1-2a）．（a≠0）
△=16a²-4a（1-2a）=24a（a-$\frac{1}{6}$），
當(dāng)△≤0時，即$0＜a≤\frac{1}{6}$，f′（x）≥0，∴f（x）在R上單調(diào)遞增，因此其單調(diào)遞增區(qū)間為R．
當(dāng)△＞0時，即$a＞\frac{1}{6}$或a＜0，令f′（x）=0，解得x₁=$\frac{-2a-\sqrt{6{a}^{2}-a}}{a}$，x₂=$\frac{-2a+\sqrt{6{a}^{2}-a}}{a}$．
f′（x）=a（x-x₁）（x-x₂）．
當(dāng)a$＞\frac{1}{6}$時，x₂＞x₁，令f′（x）＞0，解得x＞x₂或x＜x₁，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，x₁），（x₂，+∞）．
當(dāng)a＜0時，x₁＞x₂，令f′（x）＞0，解得x＞x₁或x＜x₂，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，x₂），（x₁，+∞）．
綜上可得：
當(dāng)$0＜a≤\frac{1}{6}$，函數(shù)f（x0單調(diào)遞增區(qū)間為R．
當(dāng)a$＞\frac{1}{6}$時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，x₁），（x₂，+∞）．
當(dāng)a＜0時，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，x₂），（x₁，+∞）．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)數(shù)的運算法則及虛部的定義、一元二次方程的解法，考查了分類討論、推理能力與計算能力，屬于難題．