Question

已知集合，具有性質(zhì)：對(duì)任意的，至少有一個(gè)屬于.

（Ⅰ）分別判斷集合與是否具有性質(zhì)；

（Ⅱ）求證：①；

②；

（Ⅲ）當(dāng)或時(shí)集合中的數(shù)列是否一定成等差數(shù)列?說(shuō)明理由.

Answer 1

解：（Ⅰ）集合具有性質(zhì)，

，，集合不具有性質(zhì).

（Ⅱ）由已知，，

則，仍由知；

，，

 

將上述各式兩邊相加得

，即；

（Ⅲ）當(dāng)時(shí)，集合中的數(shù)列一定是等差數(shù)列.

由（Ⅱ）知，且，

故，而這里，反之若不然

這與集合中元素互異矛盾，只能，即

成等差數(shù)列.  

當(dāng)時(shí)，集合中的元素不一定是等差數(shù)列.

如，中元素成等差數(shù)列，

又如，中元素不成等差數(shù)列；

當(dāng)5時(shí)，集合中的元素一定成等差數(shù)列

證明：

令①②

②①有，且由①

，  

，

又，

成等差數(shù)列.