Question

【題目】已知曲線（為參數(shù)），曲線，將的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，縱坐標(biāo)縮短為原來的得到曲線.

（1）求曲線的普通方程，曲線的直角坐標(biāo)方程；

（2）若點(diǎn)為曲線上的任意一點(diǎn)，為曲線上的任意一點(diǎn)，求線段的最小值，并求此時(shí)的的坐標(biāo)；

（3）過（2）中求出的點(diǎn)做一直線，交曲線于兩點(diǎn)，求面積的最大值（為直角坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)），并求出此時(shí)直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）曲線：，曲線：；（2）最小值為，此時(shí)；（3）最大值為，此時(shí).

【解析】

（1）通過變換求出曲線的參數(shù)方程然后化為普通方程，利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系，求解曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）由題意線段的最小值，轉(zhuǎn)為圓的圓心到直線的距離減去半徑，利用直線的垂直關(guān)系，即可求此時(shí)的P的坐標(biāo)．（3）寫出三角形的面積公式即可得到最大值，并得到圓心O到直線l的距離，設(shè)出直線l的方程，利用圓心到直線的距離公式進(jìn)行計(jì)算即可得到答案.

（1）曲線（為參數(shù)），將的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來的2倍，

縱坐標(biāo)縮短為原來的得到曲線，化為普通方程為，

曲線，即，

可得直角坐標(biāo)方程為.

(2)設(shè)，則線段的最小值為點(diǎn)P到直線的距離．

轉(zhuǎn)為圓心到直線的距離減去半徑，，

直線的斜率為-1，所以直線PQ的斜率為1，直線PQ方程為y=x,

聯(lián)立解得Q(1,1).

(3)由題意可得，

當(dāng)，即時(shí)取到面積的最大值，

此時(shí)可知圓心O到直線l的距離為，

由題意可得直線l的斜率肯定存在并設(shè)為k,

則直線l的方程為y-1=k(x-1),即kx-y-k+1=0,

圓心到直線l的距離,解得,

所以直線l的方程為：