Question

10．已知點A（0，2），拋物線C：y²=4x的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，則|FM|：|MN|=1：$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 求出拋物線C的焦點F的坐標，從而得到AF的斜率k=2．過M作MP⊥l于P，根據(jù)拋物線物定義得|FM|=|PM|．Rt△MPN中，根據(jù)tan∠NMP=-k=2，從而得到|PN|=2|PM|，進而算出|MN|=$\sqrt{5}$|PM|，由此即可得到|FM|：|MN|的值．

解答 解：∵拋物線C：y²=4x的焦點為F（1，0），點A坐標為（0，2），
∴拋物線的準線方程為l：x=-1，直線AF的斜率為k=-2，
過M作MP⊥l于P，根據(jù)拋物線物定義得|FM|=|PM|，
∵Rt△MPN中，tan∠NMP=-k=2，
∴$\frac{|PN|}{|PM|}$=2，可得|PN|=2|PM|，
得|MN|=$\sqrt{|PN{|}^{2}+|PM{|}^{2}}$=$\sqrt{5}$|PM|
因此可得|FM|：|MN|=|PM|：|MN|=1：$\sqrt{5}$．
故答案為：1：$\sqrt{5}$．

點評 本題給出拋物線方程和射線FA，求線段的比值．著重考查了直線的斜率、拋物線的定義、標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．