Question

19．設(shè)m∈R，過定點A的動直線mx+y-1=0與過定點B的動直線x-my+m+2=0交于點P（x，y），則|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的
最大值為（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{2}$+1
• C． 2$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$+2

Answer 1

分析 由動直線mx+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得A（0，1），同理可得B（-2，1）．|AB|=2．當(dāng)PA⊥PB時，$|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}$=|AB|²=4，利用|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|≤$\sqrt{2[|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}]}$即可得出．

解答 解：由動直線mx+y-1=0，令$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y-1=0}\end{array}\right.$，解得A（0，1），同理可得B（-2，1）．
∵|AB|=$\sqrt{{2}^{2}+0}$=2．
∴當(dāng)PA⊥PB時，$|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}$=|AB|²=4
∴|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|≤$\sqrt{2[|\overrightarrow{PA}{|}^{2}+|\overrightarrow{PB}{|}^{2}]}$=$\sqrt{2×{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)$|\overrightarrow{PA}|=|\overrightarrow{PB}|$=$\sqrt{2}$時取等號．
∴|$\overrightarrow{PA}$|+|$\overrightarrow{PB}$|的最大值為2$\sqrt{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了直線系、勾股定理、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．