Question

11．如圖，半圓O的直徑為直角梯形垂直于底的腰，且切AB、BC、CD于A、E、D點，將其繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周，得到一個球與一個圓臺，若球的表面積與圓臺側(cè)面積的比為3：4，求球的體積與圓臺體積之比．

Answer 1

分析 設(shè)球半徑為R，圓臺上底半徑為r，圓臺下底半徑為r′，因為球與圓臺上下側(cè)面都相切，所以圓臺側(cè)面長l=r+r′，結(jié)合已知求出r，r′，R之間的關(guān)系式，代入球的體積公式和圓臺的體積公式，可得答案．

解答 解：設(shè)球半徑為R，圓臺上底半徑為r，圓臺下底半徑為r′，
因為球與圓臺上下側(cè)面都相切，所以圓臺側(cè)面長l=r+r′，
又∵球面面積與圓臺的側(cè)面積之比為3：4，
∴π﹙r+r′﹚²：4πR²=4：3①
﹙r′-r﹚²+﹙2R﹚²=﹙r+r′﹚²②
解之r′=3r，則R=$\sqrt{3}$r，
V_球=$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{12\sqrt{3}π}{3}$r³，
V_臺=$\frac{1}{3}$π（r²+r′²+rr′）2R=$\frac{26\sqrt{3}π}{3}$r³，
V_球：V_臺=6：13．

點評 本題考查的知識點是旋轉(zhuǎn)體，熟練掌握圓臺和球的表面積公式和體積公式，是解答的關(guān)鍵．